Giải Thảo luận Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác (trang 41, 42) – SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Tham khảo: Nhắc lại.
Câu hỏi/Đề bài:
Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?
Hướng dẫn:
Nhắc lại:
+) công thức tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
+) \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}\)
Bước 1: Tính sin A theo cos A. Lưu ý: \(\sin A > 0\)
Bước 2: Thay sin A vào \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\) Rút gọn biểu thức rồi kết luận.
Lời giải:
Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\)
\( \Rightarrow \sin A = \pm \sqrt {1 – {{\cos }^2}A} \)
Do \({0^o} < \widehat A 0\) hay \(\sin A = \sqrt {1 – {{\cos }^2}A} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sin A = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 – \frac{{{{\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)}^2}}}{{4{b^2}{c^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{{4{b^2}{c^2} – {{\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)}^2}}}{{4{b^2}{c^2}}}} = \frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} – {{\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)}^2}} }}{{2bc}}\end{array}\)
Thế vào công thức tính diện tích tam giác ABC ta được:
\(S = \frac{1}{2}bc.\frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} – {{\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)}^2}} }}{{2bc}} = \frac{1}{4}.\sqrt {4{b^2}{c^2} – {{\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)}^2}} \)
Chú ý:
Nếu tiếp tục biến đổi công thức diện tích ta được
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{4}.\sqrt {\left( {2bc + {b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)\left( {2bc – {b^2} – {c^2} + {a^2}} \right)} \\ = \frac{1}{4}.\sqrt {\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} – {a^2}} \right]\left[ {{a^2} – {{\left( {b – c} \right)}^2}} \right]} \\ = \frac{1}{4}.\sqrt {\left( {b + c – a} \right)\left( {b + c + a} \right)\left( {a – b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)} \end{array}\)
Đến đây, đặt \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\), là nửa chu vi tam giác ABC, ta suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}b + c + a = 2p\\b + c – a = b + c + a – 2a = 2\left( {p – a} \right)\\a – b + c = b + c + a – 2b = 2\left( {p – b} \right)\\a + b – c = b + c + a – 2c = 2\left( {p – c} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{4}\sqrt {2\left( {p – a} \right).2p.2\left( {p – b} \right).2\left( {p – c} \right)} \\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} \end{array}\)
(công thức Heron)