Giải Luyện tập 3 Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (trang 37, 38, 39) – SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Gợi ý: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}, \;{\Delta _2}\).
Câu hỏi/Đề bài:
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 – 2t\end{array} \right.,{\rm{ }}{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t’\\y = 5 + 3t’\end{array} \right.\)
Hướng dẫn:
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1},\;{\Delta _2}\)
Bước 1: Xác định VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} ({a_1},{b_1})\) và \(\overrightarrow {{n_2}} ({a_2},{b_2})\) tương ứng.
Bước 2: Tính \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
Từ đó suy ra \(\varphi \), là góc giữa hai đường thẳng
Lời giải:
Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; – 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; – 1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( – 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\)