Đáp án Luyện tập 2 Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (trang 37, 38, 39) – SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Tham khảo: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}: {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0, \;{\Delta _2}.
Câu hỏi/Đề bài:
Tính góc giữa hai đường thẳng : \({\rm{ }}{\Delta _1}:{\rm{ }}x + 3y + 2{\rm{ }} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{\Delta _2}:{\rm{ }}y = 3x + 1\)
Hướng dẫn:
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0,\;{\Delta _2}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\)
Bước 1: Xác định VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} ({a_1},{b_1})\) và \(\overrightarrow {{n_2}} ({a_2},{b_2})\) tương ứng.
Bước 2: Tính \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
Từ đó suy ra \(\varphi \), là góc giữa hai đường thẳng
Lời giải:
Ta có \({\Delta _1}\)có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right)\).
Phương trình tổng quát của \({\Delta _2}\) là \(3x – y + 1 = 0\), suy ra \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; – 1} \right)\)
Do \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.3 + 3.\left( { – 1} \right) = 0\). Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Cách 2:
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng, ta có:
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.3 + 3.( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( – 1)}^2}} }} = 0\)
Do đó góc giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là \(\varphi =90^o\)