Đáp án Luyện tập 1 Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 (trang 34, 35) – SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Gợi ý: Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {120^o}\.
Câu hỏi/Đề bài:
Tìm các giá trị lượng giác của góc \({120^o}\) (H.3.4)
Hướng dẫn:
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {120^o}\)
Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị \(\cos {120^o},\;\sin {120^o}\)
Từ đó suy ra \(\;\tan {120^o} = \dfrac{{\sin {{120}^o}}}{{\cos {{120}^o}}},\;\;\cot {120^o} = \dfrac{{\cos {{120}^o}}}{{\sin {{120}^o}}}.\)
Lời giải:
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {120^o}\)
Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Vì \(\widehat {xOM} = {120^o} > {90^o}\) nên M nằm bên trái trục tung.
Khi đó:\(\;\cos {120^o} = – \,\;\overline {ON} ,\;\;\sin {120^o} = \overline {OP} \)
Vì \(\widehat {xOM} = {120^o}\) nên \(\widehat {NOM} = {180^o} – {120^o} = {60^o}\) và \(\widehat {POM} = {120^o} – {90^o} = {30^o}\)
Vậy các tam giác \(\Delta MON\) và \(\Delta MOP\) vuông tại N, p và có một góc bằng \({30^o}\)
\( \Rightarrow ON = MP = \frac{1}{2}OM = \frac{1}{2}\)(Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc \({30^o}\) bằng một nửa cạnh huyền)
Và \(OP = MN = \sqrt {O{M^2} – O{N^2}} = \sqrt {{1^2} – {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy điểm M có tọa độ là \(\left( { – \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Và \(\cos {120^o} = – \frac{1}{2};\;\;\;\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\begin{array}{l}\; \Rightarrow \;\tan {120^o} = \frac{{\sin {{120}^o}}}{{\cos {{120}^o}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}:\left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \sqrt 3 ;\\\cot {120^o} = \frac{{\cos {{120}^o}}}{{\sin {{120}^o}}} = \left( { – \frac{1}{2}} \right):\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }} = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\end{array}\)
Chú ý
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc \({120^o}\)
Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:
Bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)
Tính \(\sin {120^o}\), bấm phím: sin 1 2 0 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Tính \(\cos {120^o}\),bấm phím: cos 1 2 0 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \(\frac{{ – 1}}{2}\)
Tính \(\tan {120^o}\), bấm phím: tan 1 2 0 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \( – \sqrt 3 \)
( Để tính \(\cot {120^o}\), ta tính \(1:\tan {120^o}\))