Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 SGK Toán 10 - Kết nối tri thức Hoạt động 2 Bài 11 (trang 68, 69, 70) Toán 10: Cho...

Hoạt động 2 Bài 11 (trang 68, 69, 70) Toán 10: Cho hai vectơ cùng phương → u = x;y và → v = kx;ky . Hãy kiểm tra công thức → u

Lời giải Hoạt động 2 Bài 11. Tích vô hướng của hai vecto (trang 68, 69, 70) – SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Gợi ý: Tính tích vô hướng bằng công thức: \(\overrightarrow u . \;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|. \.

Câu hỏi/Đề bài:

Cho hai vectơ cùng phương \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {kx;ky} \right)\). Hãy kiểm tra công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) theo từng trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và \(k \ge 0\)

c) \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và \(k < 0\)

Hướng dẫn:

Tính tích vô hướng bằng công thức: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)

Lời giải:

a) Vì \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow u \) vuông góc với mọi \(\overrightarrow v \).

Như vậy \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\)

Mặt khác: \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow x = y = 0\)

\( \Rightarrow k\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 0 = \overrightarrow u .\overrightarrow v \)

b) Vì \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và \(k \ge 0\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \)cùng hướng.

\( \Rightarrow \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o} \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\left| k \right|.\sqrt {{x^2} + {y^2}} = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\end{array}\)

(|k|= k do k > 0)

c) Vì \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và \(k < 0\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \)ngược hướng.

\( \Rightarrow \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o} \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = – 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = – \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| = – \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} \\ = – \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\left| k \right|.\sqrt {{x^2} + {y^2}} = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\end{array}\)