Tọa độ của vectơ: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A})\) b) Tìm \(k \ne 0\) sao cho: \(\overrightarrow {AB} = k. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối Chương 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5)….
Đề bài/câu hỏi:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-1; -2) và D (6;5).
a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AE} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Hướng dẫn:
a) Tọa độ của vectơ: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A})\)
b) Tìm \(k \ne 0\) sao cho: \(\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {CD} \)
c) Vectơ \(\overrightarrow u \,(a;b)\) và \(\overrightarrow v \,(x;y)\)\((x;y \ne 0)\) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}\) \((x;y \ne 0)\)
d)
Lời giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3 – 1;4 – 2) = (2;2)\) và \(\overrightarrow {CD} = (6 – ( – 1);5 – ( – 2)) = (7;7)\)
b) Dễ thấy: \((2;2) = \frac{2}{7}.(7;7)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{7}.\overrightarrow {CD} \)
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.
c) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = ( – 1 – 1; – 2 – 2) = ( – 2; – 4)\) và \(\overrightarrow {BE} = (a – 3;1 – 4) = (a – 3; – 3)\)
Để \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương thì \(\frac{{a – 3}}{{ – 2}} = \frac{{ – 3}}{{ – 4}}\)\( \Leftrightarrow a – 3 = – \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)
Vậy \(a = \frac{3}{2}\) hay \(E\left( {\frac{3}{2};1} \right)\) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương
d)
Cách 1:
Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \left( {\frac{3}{2} – 3; – 3} \right) = \left( { – \frac{3}{2}; – 3} \right)\) ; \(\overrightarrow {AC} = ( – 2; – 4)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)
Mà \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \) (quy tắc cộng)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)
Cách 2:
Giả sử \(\overrightarrow {AE} = m\,.\,\overrightarrow {AB} + n\,.\,\overrightarrow {AC} \)(*)
Ta có: \(\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{2}; – 1} \right)\), \(m\,.\,\overrightarrow {AB} = m\left( {2;2} \right) = (2m;2m)\), \(n\,.\,\overrightarrow {AC} = n( – 2; – 4) = ( – 2n; – 4n)\)
Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; – 1} \right) = (2m;2m) + ( – 2n; – 4n)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; – 1} \right) = (2m – 2n;2m – 4n)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} = 2m – 2n\\ – 1 = 2m – 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)