+) ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Giải chi tiết Giải bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối Chương 4. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M,…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \).
Hướng dẫn:
+) ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
Lời giải:
Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow – \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = – \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \end{array}\)
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} – \overrightarrow {MC} \) (*)
Áp dụng quy tắc hiệu ta có: \(\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} ;\;\;\overrightarrow {MD} – \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CD} \)
Do đó (*) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \) (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)
Cách 3:
Ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} } \right)\)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Rightarrow – \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} \) hay \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \) (đpcm)