Bài 8 trang 45 Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho hai điểm A 1;3 , B 4;2 a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA=DB b) Tính chu vi tam giác OAB c) Chứng

Đề bài/câu hỏi:

Cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {4;2} \right)\)

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA=DB

b) Tính chu vi tam giác OAB

c) Chứng minh rằng OA vuông góc AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB

Lời giải:

a) Gọi tọa độ điểm D là \((x;0)\)

Ta có: \(\overrightarrow {DB} = \left( {4 – x;2} \right) \Rightarrow DB = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 – x} \right)}^2} + {2^2}} \)

\(\begin{array}{l}DA = DB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 – x} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {{{\left( {4 – x} \right)}^2} + {2^2}} \\ \Rightarrow {\left( {1 – x} \right)^2} + {3^2} = {\left( {4 – x} \right)^2} + {2^2}\\ \Rightarrow x^2 -2x+10 = x^2 -8x+ 20\\ \Rightarrow 6x = 10\\ \Rightarrow x = \frac{5}{3}\end{array}\)

Thay \(x = \frac{5}{3}\) ta thấy thảo mãn phương trình

Vậy khi \(D\left( {\frac{5}{3};0} \right)\) thì DA=DB

b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;3} \right) \Rightarrow OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \)

\(\overrightarrow {OB} = \left( {4;2} \right) \Rightarrow OB = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {3; – 1} \right) \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \)

Chu vi tam giác OAB là

\({C_{OAB}} = OA + OB + AB = \sqrt {10} + 2\sqrt 5 + \sqrt {10} = 2\sqrt {10} + 2\sqrt 5 \)

c) \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AB} = 1.3 + 3.( – 1) = 0 \Rightarrow OA \bot AB\)

Tam giác OAB vuông tại A nên diện tích của tam giác là

\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.AB = \frac{1}{2}\sqrt {10} .\sqrt {10} = 5\)