Từ tập giá trị suy ra GTNN của hàm số bằng 9. Lập bảng biến thiên, xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số. Gợi ý giải Giải bài 5 trang 59 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối Chương 3. Biết rằng hàm số giảm trên khoảng tăng trên khoảng và có tập giá trị là….
Đề bài/câu hỏi:
Biết rằng hàm số \(y = 2{x^2}{\rm{ + }}mx + n\) giảm trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right),\)tăng trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và có tập giá trị là \([9; + \infty )\). Xác định giá trị của m và n.
Hướng dẫn:
Từ tập giá trị suy ra GTNN của hàm số bằng 9.
Lập bảng biến thiên, xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải:
Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – m}}{{2.2}} = – \frac{m}{4};{y_S} = f( – \frac{m}{4})\)
Vì hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(f( – \frac{m}{4}).\)
Hàm số giảm trên \(( – \infty ; – \frac{m}{4})\) và tăng trên \(( – \frac{m}{4}; + \infty )\)
Theo giả thiết, ta có:
Hàm số giảm trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\)\( \Rightarrow \left( { – \infty ;1} \right) \subset ( – \infty ; – \frac{m}{4}) \Leftrightarrow 1 \le – \frac{m}{4}.\)
Tương tự hàm số tăng trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow \left( {1; + \infty } \right) \subset ( – \frac{m}{4}; + \infty ) \Leftrightarrow – \frac{m}{4} \le 1.\)
Do đó: \( – \frac{m}{4} = 1\) hay \(m = – 4\)
Lại có: Tập giá trị là \([9; + \infty )\)\( \Rightarrow \)Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 9.
\( \Leftrightarrow f(1) = f( – \frac{m}{4}) = 9 \Leftrightarrow {2.1^2} + ( – 4).1 + n = 9 \Leftrightarrow n = 11.\)
Vậy \(m = – 4,n = 11.\)