+) Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X, \;P(x)\)” là mệnh đề “\(\exists x \in X, \;\overline {P(x)} \. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 7 trang 11 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều – Bài 1. Mệnh đề toán học. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ…
Đề bài/câu hỏi:
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
a) \(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \ne 2x – 2\)
b) \(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \le 2x – 1\)
c) \(\exists x \in \mathbb{R},\;x + \frac{1}{x} \ge 2\)
d) \(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} – x + 1 < 0\)
Hướng dẫn:
+) Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,\;P(x)\)” là mệnh đề “\(\exists x \in X,\;\overline {P(x)} \)”
+) Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in X,\;P(x)\)” là mệnh đề “\(\forall x \in X,\;\overline {P(x)} \)”.
Lời giải:
a) Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \ne 2x – 2\)” là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} = 2x – 2\)”
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} = 2x – 2\)” sai vì \({x^2} \ne 2x – 2\)với mọi số thực x ( vì \({x^2} – 2x + 2 = {(x – 1)^2} + 1 > 0\) hay \({x^2} > 2x – 2\)).
b) Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \le 2x – 1\)” là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} > 2x – 1\)”
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} > 2x – 1\)” đúng vì có \(x = 2 \in \mathbb{R}:{2^2} > 2.2 – 1\) hay \(4 > 3\) (luôn đúng).
c) Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;x + \frac{1}{x} \ge 2\)” là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;x + \frac{1}{x} < 2\)”.
Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;x + \frac{1}{x} 2\).
d) Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} – x + 1 < 0\)” là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} – x + 1 \ge 0\)”.
Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} – x + 1 \ge 0\)” đúng vì \({x^2} – x + 1 = {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0\) với mọi số thực x.