Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo Bài 5 trang 19 SBT toán 10 – Chân trời sáng tạo:...

Bài 5 trang 19 SBT toán 10 – Chân trời sáng tạo: Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà

Sử dụng định lí côsin \(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} – 2bc\cos A} \. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 5 trang 19 SBT toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai. Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà,…

Đề bài/câu hỏi:

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà, An đi x mét theo phương tạo với NC một góc \(60^\circ \) đến vị trí A sau đó đi tiếp 3 m đến vị trí B như hình 1.

a) Biểu diễn khoảng cách AC BC theo x

b) Tìm x để \(AC = \frac{8}{9}BC\)

c) Tìm x để khoảng cách \(BC = 2AN\)

Hướng dẫn:

a) Sử dụng định lí côsin \(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} – 2bc\cos A} \)

b) Lập phương trình dựa vào kết quả của câu a) và giải phương trình

c) Lập phương liên quan và giải phương trình

Lời giải:

a) Áp dụng đính lí côsin trong tam giác ANC ta có:

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{N^2} + N{C^2} – 2AN.NC.\cos \widehat N} = \sqrt {{x^2} + {{10}^2} – 2x.10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} – 10x + 100} \end{array}\)

Áp dụng đính lí côsin trong tam giác BNC ta có:

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {B{N^2} + N{C^2} – 2BN.NC.\cos \widehat N} = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{10}^2} – 2\left( {x + 3} \right).10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} – 4x + 79} \end{array}\)

b) Ta có: \(AC = \frac{8}{9}BC\) hay

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} – 10x + 100} = \frac{8}{9}\sqrt {{x^2} – 4x + 79} \\ \Rightarrow {x^2} – 10x + 100 = \frac{{64}}{{81}}\left( {{x^2} – 4x + 79} \right)\\ \Rightarrow \frac{{17}}{{81}}{x^2} – \frac{{554}}{{81}}x + \frac{{3044}}{{81}} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x \simeq 7\) hoặc \(x \simeq 25,6\)

Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy khi \(x \simeq 7\) hoặc \(x \simeq 25,6\) thì \(AC = \frac{8}{9}BC\)

c) Yêu cầu bài toán tương đương

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} – 4x + 79} = 2x\\ \Rightarrow {x^2} – 4x + 79 = 4{x^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 4x – 79 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ – 2 – \sqrt {241} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ – 2 + \sqrt {241} }}{3}\)

Mà vì \(x \ge 0\) nên \(x = \frac{{ – 2 + \sqrt {241} }}{3}\)

Vậy khi \(x = \frac{{ – 2 + \sqrt {241} }}{3}\) thì \(BC = 2AN\)