Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 SBT Toán 10 - Cánh diều Bài 27 trang 14 SBT toán 10 – Cánh diều: Chứng minh...

Bài 27 trang 14 SBT toán 10 – Cánh diều: Chứng minh rằng: a) kC_n^k = nC_n – 1^k – 1 với 1 ≤ k ≤ n b) 1/k + 1C_n^k = 1/n + 1C_n + 1^k + 1

Áp dụng công thức và tính chất của tổ hợp để biến đổi vế phức tạp hơn của các đẳng thức trên Một số công. Hướng dẫn giải Giải bài 27 trang 14 SBT toán 10 – Cánh diều – Bài 3. Tổ hợp. Chứng minh rằng: a) \(kC_n^k = nC_{n – 1}^{k – 1}\) với \(1 \le k \le n\…

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh rằng:

a) \(kC_n^k = nC_{n – 1}^{k – 1}\) với \(1 \le k \le n\)

b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với \(0 \le k \le n\)

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức và tính chất của tổ hợp để biến đổi vế phức tạp hơn của các đẳng thức trên

Một số công thức áp dụng: \(n(n – 1)! = n!,k(k – 1)! = k!\)

Lời giải:

a) Với \(1 \le k \le n\), biến đổi vế phải ta có:

VP = \(nC_{n – 1}^{k – 1} = \frac{{n(n – 1)!}}{{(k – 1)!\left[ {(n – 1) – (k – 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{n!}}{{(k – 1)!(n – k)!}} = \frac{{n!}}{{\frac{{k!}}{k}(n – k)!}}\)\( = k\frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}\) \( = kC_n^k\) = VT (ĐPCM)

b) Với \(0 \le k \le n\), biến đổi vế phải ta có:

VP = \(\frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {(n + 1) – (k + 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{(n + 1).n!}}{{(n + 1)(k + 1)!(n – k)!}} = \frac{{n!}}{{(k + 1)!(n – k)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{(k + 1)k!(n – k)!}} = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}\) \( = \frac{1}{{k + 1}}C_n^k\) = VT (ĐPCM)