Bài 27 trang 14 SBT toán 10 – Cánh diều: Chứng minh rằng: a) kC_n^k = nC_n – 1^k – 1 với 1 ≤ k ≤ n b) 1/k + 1C_n^k = 1/n + 1C_n + 1^k + 1

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh rằng:

a) \(kC_n^k = nC_{n – 1}^{k – 1}\) với \(1 \le k \le n\)

b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với \(0 \le k \le n\)

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức và tính chất của tổ hợp để biến đổi vế phức tạp hơn của các đẳng thức trên

Một số công thức áp dụng: \(n(n – 1)! = n!,k(k – 1)! = k!\)

Lời giải:

a) Với \(1 \le k \le n\), biến đổi vế phải ta có:

VP = \(nC_{n – 1}^{k – 1} = \frac{{n(n – 1)!}}{{(k – 1)!\left[ {(n – 1) – (k – 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{n!}}{{(k – 1)!(n – k)!}} = \frac{{n!}}{{\frac{{k!}}{k}(n – k)!}}\)\( = k\frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}\) \( = kC_n^k\) = VT (ĐPCM)

b) Với \(0 \le k \le n\), biến đổi vế phải ta có:

VP = \(\frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {(n + 1) – (k + 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{(n + 1).n!}}{{(n + 1)(k + 1)!(n – k)!}} = \frac{{n!}}{{(k + 1)!(n – k)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{(k + 1)k!(n – k)!}} = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}\) \( = \frac{1}{{k + 1}}C_n^k\) = VT (ĐPCM)