Giải chi tiết Giải đề 3 Tổng hợp 10 đề thi học kì 1 Toán 10 kết nối tri thức – Đề thi đề kiểm tra Toán lớp 10 Kết nối tri thức.
Câu hỏi/Đề bài:
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
|
1.B |
2.D |
3.C |
4.B |
5.C |
6.C |
7.C |
8.B |
9.B |
10.D |
|
11.A |
12.A |
13.A |
14.B |
15.C |
16.B |
17.C |
18.A |
19.C |
20.C |
|
21.D |
22.D |
23.A |
24.D |
25.A |
26.C |
27.A |
28.C |
29.B |
30.C |
Câu 1 (NB):
Hướng dẫn:
Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
Cách giải:
Câu (3) không phải là mệnh đề.
Chọn B.
Câu 2 (TH):
Hướng dẫn:
Tìm số quy tròn a của \(\bar a = 8217,3\) đến hàng chục.
Tính sai số tuyệt đối \(\Delta {\rm{ \;}} = \left| {\bar a – a} \right|\).
Cách giải:
Quy tròn \(\bar a = 8217,3\) đến hàng chục ta được số gần đúng \(a = 8220\).
Vậy sai số tuyệt đối là: \(\Delta {\rm{ \;}} = \left| {\bar a – a} \right| = 2,7.\)
Chọn D.
Câu 3 (TH):
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức trung điểm: \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
Cách giải:
Vì M là trung điểm của BC nên
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right)}\\{ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {AM} }\\{ \Rightarrow x = {\rm{ \;}} – 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 2.}\end{array}\)
Vậy cặp số (x;y) cần tìm là (-1;2).
Chọn C.
Câu 4 (TH):
Hướng dẫn:
Tính số HS thích học một trong hai môn.
Tính số HS thích học cả hai môn = Số HS thích môn Văn + số HS thích môn Toán – số HS thích một trong hai môn.
Cách giải:
Số học sinh thích môn Văn hoặc Toán là: 37 – 9 = 28 (bạn).
Số học sinh thích cả hai môn Văn và Toán là: (17 + 19) – 28 = 8 (bạn).
Chọn B.
Câu 5 (TH):
Hướng dẫn:
Giải từng bất phương trình.
Lấy giao hai tập hợp nghiệm của hai bất phương trình.
Cách giải:
Giải từng bất phương trình:
\(3x – 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{4}{3} \Rightarrow {S_1} = \left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right)\).
\(\frac{{x – 1}}{2} – x \ge {\rm{ \;}} – 2 \Leftrightarrow x – 1 – 2x \ge {\rm{ \;}} – 2x \Leftrightarrow x \ge 1 \Rightarrow {S_2} = \left[ {1; + \infty } \right).\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)
Chọn C.
Câu 6 (TH):
Hướng dẫn:
Dựa vào các điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
Thay tọa độ điểm (2;0) vào bất phương trình ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 + 2 – 1 > 0}\\{2 \ge 2}\\{ – 0 + 2.2 > 3}\end{array}} \right.\) (đúng) nên điểm (0;2) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.
Chọn C.
Câu 7 (VD):
Hướng dẫn:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính BC: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos A\).
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A.\)
Sử dụng công thức \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\), từ đó suy ra R.
Cách giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {9^2} + {{18}^2} – 2.9.8.\cos {{60}^0} = 243}\\{ \Rightarrow BC = 9\sqrt 3 }\end{array}\)
Khi đó ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.9.18.\sin {60^0} = \frac{{81\sqrt 3 }}{2}\).
Mà \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{9.18.9\sqrt 3 }}{{4.\frac{{81\sqrt 3 }}{2}}} = 9.\)
Chọn C.
Câu 8 (TH):
Hướng dẫn:
Sử dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).
Cách giải:
Xét tam giác ABC ta có: C = 1800 – (A + B) = 750.
Sử dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).
\( \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin B = \frac{8}{{\sin {{75}^0}}}.\sin {45^0} \approx 5,86.\)
Chọn B.
Câu 9 (TH):
Hướng dẫn:
Sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\tan }^2}x{{\sin }^2}x – {{\tan }^2}x + {{\sin }^2}x}\\{ = {{\tan }^2}x\left( {{{\sin }^2}x – 1} \right) + {{\sin }^2}x}\\{ = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.\left( { – {{\cos }^2}x} \right) + {{\sin }^2}x}\\{ = {\rm{ \;}} – {{\sin }^2}x + {{\sin }^2}x = 0.}\end{array}\)
Chọn B.
Câu 10 (VD):
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc ba điểm, phép nhân vectơ với một số.
Cách giải:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} = 2\left( {\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} } \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AN} + 2\overrightarrow {CM} + \left( {\overrightarrow {BM} – \overrightarrow {CM} } \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AN} + 2\overrightarrow {CM} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} }\end{array}\)
Chọn D.
Câu 11 (VD):
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tìm độ lệch chuẩn.
Cách giải:
Bảng phân bố tần số:
Điểm trung bình: \(\bar x = \frac{{45.4 + 55.6 + 65.10 + 75.6 + 85.4 + 95.2}}{{32}} = 66,875\) (điểm)
Phương sai: \({s^2} = \frac{1}{{32}}\left[ {4.{{\left( {45 – 66,875} \right)}^2} + 6.{{\left( {55 – 66,875} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + 2.{{\left( {95 – 66,875} \right)}^2}} \right] \approx 190,234\) (điểm)
Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt[{}]{{{s^2}}} = \sqrt[{}]{{190,234}} \approx 13,793\) (điểm)
Chọn A.
Câu 12 (TH):
Hướng dẫn:
Cho tam giác ABC trọng tâm G và điểm M bất kì, ta có \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = 3\overrightarrow {MG} .\)
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + 4\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} } \right) + 3\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + 3\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\end{array}\)
=> M là trung điểm của GC.
Vậy M thuộc miền 1.
Chọn A.
Câu 13 (TH):
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc hiệu.
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} = m\overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DA} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {DA} {\rm{ \;}} = m\overrightarrow {DC} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = m\overrightarrow {DC} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)}\end{array}\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {DC} \) là hai vectơ cùng hướng.
Vậy ABCD là hình thang.
Chọn A.
Câu 14 (TH):
Hướng dẫn:
Sử dụng định lí Sin trong tam giác: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Cách giải:
Sử dụng định lí Sin trong tam giác ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}}\\{\sin c = \frac{{c\sin A}}{a}}\\{a = 2R\sin A}\end{array}} \right.}\end{array}\)
Suy ra A, C, D đúng.
Chọn B.
Câu 15 (NB):
Hướng dẫn:
Sử dụng ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn.
Cách giải:
Để đo độ phân tán (độ chênh lệch) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình, người ta sử dụng số đặc trưng là phương sai và độ lệch chuẩn.
Chọn C.
Câu 16 (TH):
Hướng dẫn:
Đối với bảng phân bố tần số, phương sai được tính theo công thức:
\({s^2} = \frac{1}{N}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} – \bar x} \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} – \bar x} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + {n_k}{{\left( {{x_k} – \bar x} \right)}^2}} \right]\)
Với \({n_i};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {f_i}\) lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \({x_i}\).
Cách giải:
Bảng phân số tần số:
*) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:
\(\bar x = \frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1{\mkern 1mu} \)(tạ)
*) Phương sai:
\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {5.{{\left( {20 – 22,1} \right)}^2} + 8.{{\left( {21 – 22,1} \right)}^2} + 11.{{\left( {22 – 22,1} \right)}^2} + 10.{{\left( {23 – 22,1} \right)}^2} + 6.{{\left( {24 – 22,1} \right)}^2}} \right]\)\( = 1,54\) (tạ)
Chọn B.
Câu 17 (NB):
Hướng dẫn:
Liệt kê các số tự nhiên nhỏ hơn 5.
Cách giải:
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x < 5} \right\} = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}\).
Chọn C.
Câu 18 (NB):
Hướng dẫn:
\({C_X}Y = X\backslash Y = \{ x \in X\) và \(x \notin Y\} .\)
Cách giải:
Ta có: \({C_X}Y = X\backslash Y = \left\{ {3;4} \right\}.\)
Chọn A.
Câu 19 (NB):
Hướng dẫn:
Dựa vào các điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Cách giải:
Điểm (1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên loại đáp án A và D vì 1 – 0 < 0 (vô lý).
Điểm (1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên loại đáp án B vì 2.1 – 0 < 1 (vô lý).
Chọn C.
Câu 20 (TH):
Hướng dẫn:
Thay trực tiếp tọa độ các điểm ở các đáp án vào hệ bất phương trình.
Cách giải:
Thay tọa độ điểm A(0;1) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 + 3.1 – 2 \ge 0}\\{2.0 + 1 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ge 0}\\{2 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai)
Thay tọa độ điểm C(1;3) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.3 – 2 \ge 0}\\{2.1 + 3 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 \ge 0}\\{6 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai)
Thay tọa độ điểm B(-1;1) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – 1 + 3.1 – 2 \ge 0}\\{2\left( { – 1} \right) + 1 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \ge 0}\\{0 \le 0}\end{array}} \right.\) (đúng)
Thay tọa độ điểm D(-1;0) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – 1 + 3.0 – 2 \ge 0}\\{2\left( { – 1} \right) + 0 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – 3 \ge 0}\\{ – 1 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai)
Vậy điểm B(-1;1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Chọn C.
Câu 21 (TH):
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) tính \(\cos x.\)
Tính \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x = 1}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\cos }^2}x = 1}\\{ \Leftrightarrow {{\cos }^2}x = \frac{{16}}{{25}}}\\{ \Leftrightarrow \cos x = {\rm{ \;}} \pm \frac{4}{5}}\end{array}\)
Vì \({90^0} < x < {180^0} \Rightarrow \cos x < 0\).
\( \Rightarrow \cos x = {\rm{ \;}} – \frac{4}{5} \Rightarrow \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ – \frac{4}{5}}} = {\rm{ \;}} – \frac{3}{4}\).
Vậy \(P = \tan x.{\cos ^2}x = {\rm{ \;}} – \frac{3}{4}.\frac{{16}}{{25}} = {\rm{ \;}} – \frac{{12}}{{25}}.\)
Chọn D.
Câu 22 (VD):
Hướng dẫn:
Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho \cos \alpha và biểu diễn biểu thức P theo \tan \alpha .
Cách giải:
Vì \(\tan \alpha {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – 2\) xác định nên \(\cos \alpha {\rm{ \;}} \ne 0.\)
Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho \(\cos \alpha \) ta được:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{2\sin \alpha {\rm{ \;}} + 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha {\rm{ \;}} – 2\cos \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} – 2}}}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{2\tan \alpha {\rm{ \;}} + 3}}{{3\tan \alpha {\rm{ \;}} – 2}} = \frac{{2.\left( { – 2} \right) + 3}}{{3.\left( { – 2} \right) – 2}} = \frac{{ – 1}}{{ – 8}} = \frac{1}{8}.}\end{array}\)
Chọn D.
Câu 23 (TH):
Hướng dẫn:
Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ.
Cách giải:
\(\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)
Mặt khác, \(\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b\) nên ta có: \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)
Vậy \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\).
Chọn A.
Câu 24 (NB):
Hướng dẫn:
Áp dụng điều kiện để hai vecto cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng.
Cách giải:
Theo lý thuyết, ba điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại \(k\) khác \(0\) sao cho \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AC} \).
Do vậy, khẳng định sai là: Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\; = \;}}k\overrightarrow {AC} \).
Vì xảy ra trường hợp \(k = 0\), khi đó \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 0.\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 0\) (vô lý)
Chọn D.
Câu 25 (NB):
Hướng dẫn:
Dùng công thức diện tích \(S = pr = \sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} \)
Cách giải:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{S = pr = \sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} }\\{ \Rightarrow r = \frac{{\sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} }}{p} = 1,63}\end{array}\)
với \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = 9\)
Chọn A.
Câu 26 (TH):
Hướng dẫn:
Tính sai số tương đối \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} \le \frac{d}{{\left| a \right|}}\) trong mỗi đáp án. Sai số tương đối càng nhỏ thì kết quả đo được càng chính xác.
Cách giải:
Đáp án A: \({\delta _a} \le \frac{{0,01}}{{15,34}} = 0,00065189…\)
Đáp án B: \({\delta _b} \le \frac{{0,2}}{{127,4}} = 0,00156985…\)
Đáp án C: \({\delta _c} \le \frac{{0,5}}{{2135,8}} = 0,00023410…\)
Đáp án D: \({\delta _d} \le \frac{{0,15}}{{63,47}} = 0,00236332…\)
Ta thấy \({\delta _c}\) là nhỏ nhất trong các số trên. Vậy phép đo trong ý C có kết quả chính xác nhât.
Chọn C.
Câu 27 (TH):
Hướng dẫn:
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là \({\Delta _Q}\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là: \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}\)
Cách giải:
Cỡ mẫu là n = 10 chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {2 + 2} \right) = 2\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 1 1 1 2 2 . Do đó \({Q_1} = 1\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 2 3 3 4 20. Do đó \({Q_3} = 3\).
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 3 – 1 = 2.\)
Chọn A.
Câu 28 (TH):
Hướng dẫn:
Giá trị gần đúng tốt nhất khi sai số tuyệt đối nhỏ nhất.
Cách giải:
Đáp án A: \({\Delta _A} = \left| {\frac{2}{7} – 0,28} \right| = 0,0057\).
Đáp án B: \({\Delta _B} = \left| {\frac{2}{7} – 0,29} \right| = 0,0042\)
Đáp án C: \({\Delta _C} = \left| {\frac{2}{7} – 0,286} \right| = 0,00028\)
Đáp án D: \({\Delta _D} = \left| {\frac{2}{7} – 0,287} \right| = 0,00128\)
Vậy số gần đúng 0,286 là tốt nhất.
Chọn C.
Câu 29 (TH):
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc hình bình hành.
Sử dụng: hai vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng bằng 0.
Cách giải:
Lấy D sao cho ACBD là hình bình hành, khi đó ta có: \(\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} \).
Theo bài ra ta có: \(\left( {\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = 0\) \( \Rightarrow CD \bot AB\).
Hình bình hành ACBD có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi, do đó CA = CB.
Vậy tam giác ABC cân tại C.
Chọn B.
Câu 30 (NB):
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: \(\vec a.\vec b{\rm{ \;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\).
Cách giải:
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AB \bot AC\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = 0.\)
Chọn C.
Phần 2: Tự luận (4 điểm)
Câu 1 (VD):
Hướng dẫn:
a)
* Số trung bình của mẫu số liệu \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ….,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_n}\) kí hiệu là \(\bar x\), được tính bằng công thức:
\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_2} + {m_2}{x_2} + … + {m_k}{x_k}}}{n}\)
Trong đó mk là tần số của giá trị xk và \(n = {m_1} + {m_2} + … + {m_k}\).
* Tứ phân vị của mẫu số liệu:
* Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
b) Tìm trung vị của mẫu số liệu.
Để tìm trung vị của mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
– Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
– Nếu giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
So sánh số trung bình và trung vị của hai năm.
Cách giải:
a)
* Số trung bình của thời gian thi nghề của các thí sinh là:
\(\bar x = \frac{{5.1 + 6.3 + 7.5 + 8.2 + 35.1}}{{1 + 3 + 5 + 2 + 1}} = \frac{{109}}{{12}} \approx 9,08\) (phút)
* Tìm tứ phân vị:
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 35
Vì cỡ mẫu là n = 12 chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {7 + 7} \right) = 7.\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 5 6 6 6 7 7. Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {6 + 6} \right) = 6\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 7 7 7 8 8 35. Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {7 + 8} \right) = 7,5\).
* Số thí sinh có thời gian hoàn thành 1 sản phẩm trong vòng 7 phút là lớn nhất (có 5 người) nên mốt là 7.
b) Số trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} = {Q_2} = 7.\)
Ta thấy: Số trung bình của năm ngoái thấp hơn năm nay, tuy nhiên giá trị số trung vị hai năm đều bằng 7, do đó xét về mặt bằng chung, thời gian thi trung bình hai năm là tương đương nhau.
Câu 2 (VD):
Hướng dẫn:
Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm nằm trên đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {JA} = 3\overrightarrow {JC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {JA} – 3\overrightarrow {JC} = \vec 0\)
Đưa đẳng thức đã cho về dạng MI = MJ, sử dụng công thức trung điểm, quy tắc ba điểm. Từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Cách giải:
Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm nằm trên đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {JA} = 3\overrightarrow {JC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {JA} – 3\overrightarrow {JC} = \vec 0\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} – 3\overrightarrow {MC} } \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JA} – 3\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} } \right)} \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| { – 2\overrightarrow {MJ} + \left( {\overrightarrow {JA} – 3\overrightarrow {JC} } \right)} \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| { – 2\overrightarrow {MJ} } \right|}\\{ \Leftrightarrow MI = MJ}\end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của IJ.
Câu 3 (VDC):
Hướng dẫn:
Sử dụng \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} = \vec 0\), bình phương hai vế, sử dụng khái niệm tích vô hướng của 2 vectơ.
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \vec 0}\\{ \Rightarrow {{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)}^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {BC} }^2} + {{\overrightarrow {CA} }^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} = 0}\\{ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }\\{ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2ac\cos B + 2bc\cos A + 2ab\cos C}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b} + \frac{{\cos C}}{c}{\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).}\end{array}\)
Mặt khác, theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A}\\{ \Leftrightarrow {a^2} = 5{a^2} – 2bc\cos A}\\{ \Leftrightarrow 2bc\cos A = 4{a^2}}\\{ \Leftrightarrow bc = \frac{{2{a^2}}}{{\cos A}} = \frac{{2{a^2}}}{{\cos \alpha }}}\end{array}\)
Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}\frac{{2{a^2}}}{{2\cos \alpha }}\sin \alpha {\rm{ \;}} = {a^2}\tan \alpha .\)