Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Đề thi đề kiểm tra Toán lớp 10 - Cánh diều Giải đề 2 Tổng hợp 10 đề thi học kì 1 Toán...

Giải đề 2 Tổng hợp 10 đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều Đề thi đề kiểm tra Toán lớp 10: I. Phần trắc nghiệm B C 3. B 4. D 5. D 6. D 7. A 8. D 9. B 10. A 11. A 12

Trả lời Giải đề 2 Tổng hợp 10 đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều – Đề thi đề kiểm tra Toán lớp 10 Cánh diều.

Câu hỏi/Đề bài:

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. Phần trắc nghiệm

1.B

2.C

3.B

4.D

5.D

6.D

7.A

8.D

9.B

10.A

11.A

12.C

13.D

14.A

15.B

16.D

17.A

18.D

19.A

20.B

21.A

22.C

23.D

24.C

25.D

26.B

27.B

28.A

29.A

30.C

Câu 1 (NB):

Hướng dẫn:

Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình.

Cách giải:

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x – 4y + 12 \ge 0}\\{x + y – 5 \ge 0}\\{x + 1 > 0}\end{array}} \right.\), kiểm tra đáp án thấy \(N\left( {4{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 3} \right)\) thoả mãn.

Chọn B.

Câu 2 (NB):

Hướng dẫn:

Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

Cách giải:

ĐKXĐ: \(2x – 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).

Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Chọn C.

Câu 3 (NB):

Cách giải:

\(f(4) = {4^2} – 1 = {\rm{\;}}15\)

Chọn B.

Câu 4 (NB):

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = {\rm{ \;}} – \frac{b}{{2a}}\).

Với a < 0: Hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\).

Cách giải:

Vì a < 0 nên hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\). Do đó A và B sai.

Đồ thị có trục đối xứng là đường thẳng \(x = {\rm{ \;}} – \frac{b}{{2a}}\) nên D đúng.

Chưa đủ dữ kiện để xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành nên C sai.

Chọn D.

Câu 5 (NB):

Hướng dẫn:

Hàm số bậc hai có dạng \(y = a{x^2} + bx + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\).

Cách giải:

Hàm số \(y = \left( {m – 4} \right){x^2} – 3x + 2\) là hàm số bậc hai khi \(m – 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 4\).

Chọn D.

Câu 6 (NB):

Hướng dẫn:

Áp dụng quy tắc dấu của tam thức bậc hai.

Cách giải:

\(f(x) = a{x^2} + bx + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a \ne 0)\), \(f(x) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta {\rm{ \;}} \le 0}\end{array}} \right.\).

Chọn D.

Câu 7 (NB):

Hướng dẫn:

Vectơ-không cùng phương với mọi vectơ.

Cách giải:

Vectơ-không cùng phương với mọi vectơ.

Chọn A.

Câu 8 (NB):

Hướng dẫn:

Xét từng đáp án.

Sử dụng công thức hình bình hành, các tính chất của phép cộng vectơ

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {DA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {DA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} = 2\overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} \ne \vec 0\).

Chọn D.

Câu 9 (NB):

Hướng dẫn:

Sử dụng quy tắc cộng vectơ.

Cách giải:

Với ba điểm A,B,C phân biệt ta có: \(\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CB} \).

Vậy đáp án B sai

Chọn B.

Câu 10 (NB):

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất của hình bình hành.

Cách giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = DC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AD = BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AO = \frac{1}{2}AC\).

Do vậy các đáp án đúng là: \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|\), \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\), \(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CA} } \right|\)

\(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\) là đáp án sai vì AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên \(AC \ne BD\).

Chọn A.

Câu 11 (NB):

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: \(\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right)\)

Hai vecto cùng hướng thì góc giữa hai vecto bằng \({0^0}\).

Cách giải:

Ta có: \(\vec a \cdot \vec b = \)\(\left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right)\)

Do \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vecto cùng hướng nên \(\left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right) = {0^^\circ }\)\( \Rightarrow \cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right) = 1\).

\( \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} \cdot \left| {\vec b} \right|\)

Vậy \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} \cdot \left| {\vec b} \right|\).

Chọn A.

Câu 12 (TH):

Hướng dẫn:

Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) với a > 0 có bề lõm hướng lên và với a < 0 có bề lõm hướng xuống.

Giao với trục tung tại điểm nằm trên trục hoành thì c > 0 và nằm dưới trục hoành thì c < 0.

Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ âm nên phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm âm.

Cách giải:

Đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên nên a > 0 => Loại D.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm trên trục hoành nên c > 0.

Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ âm nên phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm âm.

\( \Rightarrow \frac{{ – b}}{a} < 0 \Leftrightarrow {\rm{ \;}} – b 0\) => Loại A và B.

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Hướng dẫn:

Với \(a > 0\), hàm số bậc hai đồng biến trên \(\left( {\frac{{ – b}}{{2a}}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { – \infty ;\frac{{ – b}}{{2a}}} \right)\)

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} – 4x + 5\) có \({x_I} = \frac{{ – b}}{{2a}} = 2\) và có \(a = 1 > 0\)

Suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \infty ;2} \right)\), đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Câu 14 (TH):

Hướng dẫn:

Hàm số \(y = \sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f\left( x \right) \ge 0.\)

Xét dấu hàm số \(f\left( x \right) = 5 – 4x – {x^2}\), để giải \(f\left( x \right) \ge 0.\)

Cách giải:

Hàm số xác định khi \(5{x^2} – 4x – 1 \ge 0\).

Ta có \(a = {\rm{ \;}} – 1 0.\) \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x = 1;x = {\rm{ \;}} – 5.\)

Vậy \( – 5 \le x \le 1\).

Chọn A.

Câu 15 (TH):

Hướng dẫn:

Giải phương trình \(\sqrt A {\rm{\;}} = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B \ge 0}\\{A = {B^2}}\end{array}} \right.\)

Cách giải:

\(\sqrt {2{x^2} – 2} = x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\2{x^2} – 2 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 1\\2{x^2} – 2 = {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 1\\{x^2} – 2x – 3 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = – 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = – 1\end{array} \right.\)

Khi đó \({x_1} + {x_2} = 3 + \left( { – 1} \right) = 2\).

Chọn B.

Câu 16 (TH):

Hướng dẫn:

– Kiểm tra đáp án A bằng cách xác định hướng và độ dài của hai vecto \(\overrightarrow {MB} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {MC} .\)

– Kiểm tra các đáp án B, C, D bằng cách tính độ dài đoạn thẳng AM.

Cách giải:

Tam giác đều ABC cạnh a, có độ dài đường trung tuyến AM là:

\(A{M^2} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} – \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {a^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{3a}}{4}.\)

\( \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {\left| {AM} \right|} {\rm{ \;}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\)

Chọn D.

Câu 17 (TH):

Hướng dẫn:

Biến đổi \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\) về hai vectơ bằng nhau.

Xác định vị trí điểm M dựa vào điều kiện vừa tìm được.

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \) MABC là hình bình hành.

Chọn A.

Câu 18 (TH):

Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm BC.

Sử dụng tính chất trung điểm.

Cách giải:

Gọi \(M\) là trung điểm BC.

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} {\rm{ \;}} = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} {\rm{ \;}} = a\sqrt 5 \).

Chọn D.

Câu 19 (TH):

Hướng dẫn:

Áp dụng định nghĩa tích của vecto với một số, quy tắc cộng vecto để phân tích vecto.

Cách giải:

Ta có:

\(\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\({\mkern 1mu} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

Chọn A.

Câu 20 (TH):

Hướng dẫn:

Áp dụng:

+ \({\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} – \overrightarrow {AC} } \right)^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và quy tắc cộng vecto.

+ \(\cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)

Cách giải:

Tam giác ABC:\(AB = 2,\)\(BC = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 3\).

Ta có: \({\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} – \overrightarrow {AC} } \right)^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{{{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} – \overrightarrow {AC} } \right)}^2}}}{2}\)\( = \frac{{{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\overrightarrow {BC} }^2}}}{2}\)\( = \frac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{2}\)\( = \frac{{{2^2} + {3^2} – {4^2}}}{2} = \frac{{ – 3}}{2}\)

Lại có: \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}}\)\( = \frac{{ – \frac{3}{2}}}{{2.3}} = \frac{{ – 1}}{4}\)

Chọn B.

Câu 21 (VD):

Hướng dẫn:

Từ tọa độ đỉnh suy ra 2 phương trình, giải hệ tìm a, b.

Cách giải:

Vì S(-2;-1) là đỉnh của (P) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ – b}}{{2a}} = {\rm{ \;}} – 2}\\{ – 1 = 4a – 2b + 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a – b = 0}\\{4a – 2b = {\rm{ \;}} – 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.\).

Vậy 2a – b = 2.1 – 4 = -2.

Chọn A.

Câu 22 (VD):

Hướng dẫn:

\(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm\( \Leftrightarrow \Delta {\rm{ \;}} \ge 0\)

Cách giải:

Xét \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – bx + 3 = 0\) \(\left( 1 \right)\)

Để tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có nghiệm thì \(\left( 1 \right)\)có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta {\rm{ \;}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow {b^2} – 12 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b \ge 2\sqrt 3 }\\{b \le {\rm{ \;}} – 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\).

\( \Rightarrow b \in \left( { – {\mkern 1mu} \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} – {\mkern 1mu} 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \infty } \right)\)

Chọn C.

Câu 23 (VD):

Hướng dẫn:

Tìm các nghiệm của \(f\left( x \right)\), lập bảng xét dấu và kết luận.

Cách giải:

Giải: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} – 7x – 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2x – 9} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{ \;}} – 1}\\{x = \frac{9}{2}}\end{array}} \right.\)

Dựa vào bảng xét dấu ta có: \(f\left( x \right) = 2{x^2} – 7x – 9 < 0\)\( \Leftrightarrow {\rm{ \;}} – 1 < x < \frac{9}{2}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right\}\)

Tổng tất cả các số nguyên \(x\) thỏa mãn là: \(0 + {\mkern 1mu} 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

Chọn D.

Câu 24 (VD):

Hướng dẫn:

Bước 1: Tìm tập xác định (\(\sqrt A \) xác định khi và chỉ khi \(A \ge 0\))

Bước 2: Giải phương trình bằng phương pháp bình phương 2 vế.

Cách giải:

\(\sqrt {5x – 1} {\rm{\;}} = \sqrt {3x – 2} {\rm{\;}} + \sqrt {x – 1} \)

TXĐ: \(D = \left[ {1; + \infty } \right]\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {5x – 1} = \sqrt {3x – 2} + \sqrt {x – 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {5x – 1} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x – 1} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow 5x – 1 = 3x – 2 + x – 1 + 2\sqrt {\left( {3x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)} \\ \Leftrightarrow x + 2 = 2\sqrt {3{x^2} – 5x + 2} \end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 4\left( {3{x^2} – 5x + 2} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 2\\{x^2} + 4x + 4 = 12{x^2} – 20x + 8\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 2\\11{x^2} – 24x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{2}{{11}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {Tm} \right)\\x = \frac{2}{{11}}\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 2\)

Chọn C.

Câu 25 (VD):

Hướng dẫn:

– Vẽ hình, xác định các vectơ liên quan.

– Hình MNPQ là hình gì?

– Dựa vào tính chất hình MNPQ và MN là đường trung bình của tam ABC để chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN\parallel PQ}\\{MN = PQ}\end{array}} \right.\) (do cùng song song và bằng \(\frac{1}{2}AC\)).

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Suy ra \(\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {QP} \); \(\left| {\overrightarrow {QP} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\); \(\overrightarrow {MQ} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {NP} \).

Ta có: MN là đường trung bình tam giác ABC

Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AC \Rightarrow \overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Chọn D.

Câu 26 (VD):

Hướng dẫn:

Biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {AD} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {DN} \).

Biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {MB} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {CN} \).

Cộng hai biểu thức trên và biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) qua \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} .\)

Cách giải:

Ta có:

\(\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DN} \) (1)

\(\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CN} \) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được \(2\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right) \Rightarrow k = \frac{1}{2}\).

Chọn B.

Câu 27 (VD):

Hướng dẫn:

Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để tìm vecto tổng.

Tính độ dài vecto vừa tìm được.

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AM} \)

\(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 2.a.\cos {60^0} = a\)

Chọn B.

Câu 28 (VD):

Hướng dẫn:

Nếu \(M\) là trung điểm của cạnh BC thì \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AM} \).

Cách giải:

Vì \(M\) là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AM} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} – \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} – A{B^2}} \right)\)\( = \frac{{{b^2} – {c^2}}}{2}\)

Vậy \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \frac{{{b^2} – {c^2}}}{2}\).

Chọn A.

Câu 29 (VDC):

Hướng dẫn:

Giải từng bất phương trình sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm.

Cách giải:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 4x + 3 > 0}\\{3{x^2} – 10x + 3 \le 0}\\{4{x^2} – x – 3 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x 3}\\{\frac{1}{3} \le x \le 3}\\{x 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset \)

Chọn A.

Câu 30 (VDC):

Hướng dẫn:

Giả sử \(\vec P{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IA} \); \(\vec F{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IB} \) có hợp lực \(\overrightarrow {{F_T}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {IC} \), lực căng dây \(\vec T{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IN} \).

Đặt \(x > 0\) là cường độ lực \(\vec F\), \(x > 0\), đơn vị: \(N\).

Tính góc \(\angle ICB\), \(\angle CIA\).

Tính IC dựa và tam giác IAC vuông tại A.

Vì con lắc đứng yên nên \(IC = \left| {\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\vec T} \right|\).

Từ đó tìm x.

Cách giải:

Giả sử \(\vec P{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IA} \); \(\vec F{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IB} \) có hợp lực \(\overrightarrow {{F_T}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {IC} \), lực căng dây \(\vec T{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IN} \).

Đặt \(x,x > 0\) là cường độ của lực \(\vec F\), đơn vị \(N\).

Dễ thấy \(\widehat {IOM} = \widehat {ICB}\) (so le trong) suy ra \(\widehat {ICB} = {30^^\circ }\).

Mà \(\widehat {ICB} = \widehat {CIA}\) nên \(\widehat {CIA} = {30^^\circ }\).

Ta có \(AC = IB = x \Rightarrow IC = \frac{{AC}}{{{\rm{sin3}}{0^^\circ }}} = 2x\).

Do con lắc đứng yên tại \(I\)nên lực căng dây \(\vec T\) có cùng cường độ với hợp lực \(\overrightarrow {{F_T}} \).

Nên \(2x = 30 \Leftrightarrow x = 15\).

Vậy cường độ của lực tác dụng \(\vec F\) bằng 15N.

Chọn C.

II. Phần tự luận

Câu 1 (TH):

Hướng dẫn:

a) Cho \(I\) là trung điểm của AB ta có: \(\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IB} {\rm{\;}} = \vec 0.\)

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AS} \) theo vecto \(\overrightarrow {AI} \) rồi suy ra \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) thẳng hàng.

Cách giải:

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AI} \) (I là trung điểm của BC)

Vì \(BD = DE = EC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) là trung điểm BC

\( \Rightarrow I\) là trung điểm DE

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AI} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \;\left( { = 2\overrightarrow {AI} } \right)}\end{array}\)

b) Tính: \(\overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \) theo \(\overrightarrow {AI} .\) Từ đó suy ra \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) thẳng hàng.

\(\overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} } \right)}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AI} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {AI} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = 4\overrightarrow {AI} }\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) thẳng hàng.

Câu 2 (VD):

Hướng dẫn:

– Gọi x đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá; \(0 \le x \le 4\).

– Lập phương trình tính lợi nhuận khi bán một chiếc xe.

– Tính số xe mà doanh nghiệp bán được trong một năm.

– Lập hàm số biểu thị lợi nhuận doanh nghiệp thu được trong một năm.

– Xét sự biến thiên hàm số trên \([0;4]\) và tìm giá trị lớn nhất của nó.

– Kết luận bài toán.

Cách giải:

Gọi x đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá; \(0 \le x \le 4\).

Khi đó:

Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là \(31 – x – 27 = 4 – x\) (đồng).

Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là: \(600 + 200x\) (chiếc).

Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là:

\(f\left( x \right) = \left( {4 – x} \right)\left( {600 + 200x} \right) = {\rm{ \;}} – 200{x^2} + 200x + 2400.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{ \;}} – 200{x^2} + 200x + 2400\) trên đoạn \([0;4]\) có bảng biến thiên sau:

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{[0;4]} f\left( x \right) = 2450 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\)

Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Câu 3 (VDC):

Hướng dẫn:

Điều kiện tương đương là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ‘ > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 6}\\{\left( {{x_1} – 3} \right)\left( {{x_2} – 3} \right) > 0}\end{array}} \right.\)

Giải điều kiện dựa vào định lí Vi-ét.

Cách giải:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} > {x_2} > 3\).

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 3 là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ‘ > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 6}\\{\left( {{x_1} – 3} \right)\left( {{x_2} – 3} \right) > 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a – 2 > 0}\\{6a > 6}\\{{x_1}{x_2} – 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{9{a^2} – 2a + 2 – 3.6a + 9 > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{9{a^2} – 20a + 11 > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > \frac{{11}}{9}}\\{a \frac{{11}}{9}\).

Do a nguyên và nhỏ nhất nên a = 2.