Hoạt động 2 Bài 2 (trang 52, 53) Chuyên đề học tập Toán 10: Cho điểm M(x;y) nằm trên hypebol (H): x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1 a) Chứng minh rằng F_1/M^2 – F_2/M^2 = 4cx b) Giả sử điểm M(x;y)

Câu hỏi/Đề bài:

Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

a) Chứng minh rằng \({F_1}{M^2} – {F_2}{M^2} = 4cx\)

b) Giả sử điểm \(M(x;y)\) thuộc nhánh đi qua \({A_1}( – a;0)\) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất \(M{F_2} – M{F_1} = 2a\) đã biết để chứng minh \(M{F_2} + M{F_1} = – 2\frac{{cx}}{a}\). Từ đó, chứng minh các công thức: \(M{F_1} = – a – \frac{c}{a}{x_0};M{F_2} = a – \frac{c}{a}{x_0}\)

b) Giả sử điểm \(M(x;y)\) thuộc nhánh đi qua \({A_2}(a;0)\) (Hình 5b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất \(M{F_1} – M{F_2} = 2a\) đã biết để chứng minh \(M{F_2} + M{F_1} = 2\frac{{cx}}{a}\). Từ đó, chứng minh các công thức: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0};M{F_2} = – a + \frac{c}{a}{x_0}\)

Lời giải:

a) Tính \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2\)

Ta có: \(\overrightarrow {F{M_1}} (x + c;y);\overrightarrow {{F_2}M} (x – c;y)\)

\( \Rightarrow {F_1}{M^2} = {(x + c)^2} + {y^2};M{F_2}^2 = {(x – c)^2} + {y^2}\)

\( \Rightarrow {F_1}{M^2} – {F_2}{M^2} = {(x + c)^2} – {(x – c)^2} = 4c{x_0}\)

b) Khi điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_1}( – a;0)\) (\(M{F_2} – M{F_1} = 2a\)),

\(\begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 – M{F_2}^2}}{{M{F_1} – M{F_2}}} = – \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{\left( { – \frac{{2c}}{a}x} \right) – 2a}}{2} = – a – \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{\left( { – \frac{{2c}}{a}x} \right) + 2a}}{2} = a – \frac{c}{a}x\end{array}\)

c) Khi điểm \(M(x;y)\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_2}(a;0)\) (\(M{F_1} – M{F_2} = 2a\)),

\(\begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 – M{F_2}^2}}{{M{F_1} – M{F_2}}} = \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{\frac{{2c}}{a}x + 2a}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{\frac{{2c}}{a}x – 2a}}{2} = – a + \frac{c}{a}x\end{array}\)