Lời giải Hoạt động 5 Bài 2. Hypebol (trang 53) – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} – M{F_2}} \right| = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(c > a > 0\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 16). Khi đó \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của hypebol (H)
Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H), chứng minh:
a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)
b) \(M{F_2}^2 = {x^2} – 2cx + {c^2} + {y^2}\)
c) \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2 = 4cx\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} = \left( { – c – x; – y} \right) \Rightarrow M{F_1}^2 = {\left( { – c – x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {c – x; – y} \right) \Rightarrow M{F_2}^2 = {\left( {c – x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} – 2cx + {c^2} + {y^2}\)
c) \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2 = \left( {{x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) – \left( {{x^2} – 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) = 4cx\)